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2013年3月24日 (日)

高度と見渡し距離で悩む

上海の郊外に周囲1km以上、深さはええと海面下87mに達するという巨大な穴があって、そこにホテルを建てるというのか寝かせるというのか、とにかくとんでもない計画が始まっているようで。

Shanghihotel
で、そんな大穴を上空から見たら楽しかろうと思ってGoogle Earthで上海あたりを探してみたが見つけられなかった。「月湖」っていうのがそうなのかな?どうも「余山国家旅游度仮区」という報道が違っているんじゃないかと思う。「余山」の余のつくりが「示」じゃないかと思うんだが。

3月25日追記:

ををつかさんがこの穴を見つけてくれました。ホテルの完成予想図もあったので置いてみよう。
Hotelshanghai
:追記終わり


で、GoogleEarthついでにフライトシミュレータ(GoogleEarthでControl+ALT+Aを押下)で飛んでみようかと思った。東のほうへ飛べば日本へ着けるんじゃないか、と。

しばらくふらふらと飛んでいると、島影が見えた。北緯32度あたりだったので、台湾だろうか? 台湾だったらそこから沖縄方面へ飛んで、奄美から九州へとたどっていけるな、とおもったのだったが、その島の上空近くへついてみるとそれは間違いで、韓国の済州島であったことがわかった。

私のそのあたりの地理的理解がその程度だったということなのだが、まぁ機長様は飛行中運に地図なんか見ている暇はないもんね。

で、そのあたりを飛びながら考えたのだが、たとえば高度10000mを飛んでいるとき、その視界というか、つまりその高さから見える水平線までの距離はいかほどなのであろうか?と。

フライトシミュレータを飛ばしながらぼんやり考えたところでは、三角関数を使って、でも微小な角度だからというので略式の計算でさらさらと計算できるんじゃないか? ということだったのだが、暗算で計算できる感じではなかった。

済州島上空で時間切れとなって、また明日、ということになってからちょっとメモ帳で図を描いて式を立ててみたのだがうまくいかない。一晩寝てから考えてみると、三角関数じゃなくてピタゴラスの定理で簡単に解けるんじゃないかということになった。
Hightsight
Aが飛行機の位置、Dが水平線の位置で、ここまでの距離を求めたい。Oは地球の中心、Gは飛行機の直下の地表である。

Dから真横に伸びている補助線は不要だった。この補助線を使うと相似形な三角形が3つできてほにゃらら、みたいなことで問題が解けるんじゃないか、と思ったのだが。

で、結局は直角三角形A-D-Oの斜辺A-Oが地球の半径rと飛行機の高度hの和でr+h、D-Oが地球の半径そのままでr、この二つを知ってA-Dを求めるという、ピタゴラスの定理の簡単な応用なのであった。

つまりA-Dをxとおくと、

  x^2+r^2=(r+h)^2

xについてこれを解くと、

  x=Sqroot(2hr+h^2)

h^2は十分に小さいので無視すると、

  x=Sqroot(2hr)

地球の半径は6500kmと知れているので、高度hkmに対して見渡せる水平線までの距離は、

  x=114 * Sqroot(h)

ということだ。つまり高度1kmのときには114kmまで見渡せる。見渡し距離は高度の平方根に比例するので、高度10000m(10km)なら約3倍の360mkまで見渡せることになる。のだろうか?

実際に飛行機に乗って確かめられるといいのだが、あいにくそう簡単に飛行機に乗る機会は訪れてくれないので、またフライトシミュレータで遊ぶときに確かめてみよう。

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飛行機」カテゴリの記事

コメント

さすがchachaさん,そっち系(航海術)の教科書に書いて有る式を自分で導きだしちゃった,恐れ入りました。

投稿: ををつか(をたくな講師) | 2013年3月25日 (月) 13時18分

記事の穴,グーグルマップで探してみました。
https://maps.google.co.jp/maps?q=%E4%B8%8A%E6%B5%B7%E3%80%80%E4%BD%99%E5%B1%B1&hl=ja&ie=UTF8&ll=31.059901,121.153278&spn=0.012867,0.012081&sll=35.657893,139.416968&sspn=0.024269,0.024161&brcurrent=3,0x0:0x0,0&hq=%E4%BD%99%E5%B1%B1&hnear=%E4%B8%AD%E8%8F%AF%E4%BA%BA%E6%B0%91%E5%85%B1%E5%92%8C%E5%9B%BD+%E4%B8%8A%E6%B5%B7&t=h&z=16

写真が幾つか登録されていますね,ホテルの完成予想図もありました。

投稿: ををつか(をたくな講師) | 2013年3月25日 (月) 13時32分

中学生レベルの数学なんですが、ををつかさんに誉められるとうれしいなぁ。調子に乗って、地表から水平線までの直線距離G-Dも求めてみようかと思いましたが、めんどうだったので、連立二次方程式を立てたところで終わりにしました。

あの穴はよく見つけましたね。早速ホテルの完成予想図は本文のほうにいただきました。ありがとうございます。

投稿: Picks Click | 2013年3月25日 (月) 21時52分

グーグルで「上海」「穴」をキーにしたら一発で出てきました。確かに余山って所の近所ですね。グーグルマップの衛星写真じゃあまり感動がありませんね。

投稿: ををつか(をたくな講師) | 2013年3月25日 (月) 21時56分

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